Thực đơn
Số chiều Hausdorff Độ đo HausdorffCho U {\displaystyle U} là một tập con không rỗng của R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , đường kính của U {\displaystyle U} , ký hiệu | U | {\displaystyle |U|} , được định nghĩa là | U | = sup { | x − y | : x , y ∈ U } {\displaystyle |U|=\sup {\Big \{}|x-y|:x,y\in U{\Big \}}} . Cho F ⊂ R n {\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}} , nếu { U i } {\displaystyle \{U_{i}\}} là một họ đếm được (hay hữu hạn) những tập hợp thỏa F ⊂ ⋃ i = 1 ∞ U i {\displaystyle F\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}} và 0 < | U i | ≤ δ {\displaystyle 0<|U_{i}|\leq \delta } với mỗi i {\displaystyle i} , thì { U i } {\displaystyle \{U_{i}\}} được gọi là một δ {\displaystyle \delta } -phủ của F.Giả sử F {\displaystyle F} là một tập con của R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} và s {\displaystyle s} là một số không âm. Với mỗi δ > 0 {\displaystyle \delta >0} , đặt
H δ s ( F ) = inf { ∑ i = 1 ∞ | U i | s : { U i } is a δ -cover of F } {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)=\inf {\Big \{}\sum _{i=1}^{\infty }|U_{i}|^{s}:\{U_{i}\}\ {\text{ is a }}\ \delta {\text{-cover of F}}{\Big \}}}Độ đo Hausdorff s-chiều của F {\displaystyle F} , ký hiệu là H s ( F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)} được định nghĩa là H s ( F ) = lim δ → 0 H δ s ( F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)=\lim _{\delta \rightarrow 0}{\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)} .
Ở đây ta cho phép giới hạn bằng ∞ {\displaystyle \infty } . Định nghĩa trên xác định vì khi δ {\displaystyle \delta } giảm thì số bao phủ của F {\displaystyle F} giảm. Do đó H δ s ( F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)} tăng, vì vậy H δ s ( F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)} hội tụ khi δ → 0 {\displaystyle \delta \rightarrow 0} .
với c > 0 {\displaystyle c>0} và α > 0 {\displaystyle \alpha >0} thì với mỗi s ≥ 0 {\displaystyle s\geq 0} , H s / α ( f ( F ) ) ≤ c s / α H s ( F ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s/\alpha }(f(F))\leq c^{s/\alpha }{\mathcal {H}}^{s}(F).}
Thực đơn
Số chiều Hausdorff Độ đo HausdorffLiên quan
Số Số nguyên tố Số tự nhiên Số thực Số hữu tỉ Số nguyên Số người thiệt mạng trong thảm sát Nam Kinh Số phức Số phận sau cùng của vũ trụ Số họcTài liệu tham khảo
WikiPedia: Số chiều Hausdorff http://www.chem.unl.edu/rajca/highspin.html http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_H... http://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve